【題目】已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)若,當(dāng)時(shí),,且有唯一零點(diǎn),證明: .
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)后得,再對(duì)分四種情況討論可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)令=0,可知在上有唯一零點(diǎn),所以 ①, 要使在上恒成立,且有唯一解,只需,即 ②,再聯(lián)立①②可知,,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得.
(1)依題意,
若,則 ,
故函數(shù)在 上單調(diào)遞增;
若,令,解得 ;
若,則,則 ,
函數(shù)在上單調(diào)遞增;
若,則,則 ,
則函數(shù)在上單調(diào)遞減;
若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
綜上所述,時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)依題意,,而 ,
令,解得,
因?yàn)?/span>,故,
故在上有唯一零點(diǎn) ;
又,
故 ①,
要使在上恒成立,且有唯一解,
只需,即 ②,
由①②可知,
令
顯然在上單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>,
故,
又在上單調(diào)遞增,
故必有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知不等式.
(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式對(duì)任意恒成立?并說明理由.
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)若對(duì)于,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面為邊長為的正三角形,在底面的射影為中點(diǎn)且到底面的距離為,已知分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn),記線段中點(diǎn)的軌跡為,則等于( )(注:表示的測度,本題中若分別為曲線、平面圖形、空間幾何體,分別對(duì)應(yīng)為其長度、面積、體積)
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D,若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件:(1)在[m,n]上是單調(diào)函數(shù);(2)在[m,n]上的值域?yàn)?/span>[2m,2n],則稱區(qū)間[m,n]為的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有( )個(gè).
①②③
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,∠BAC≠60°,過點(diǎn)B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE,且滿足,直線DE與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)F、G、CF與BD交于點(diǎn)M,CE與BG交于點(diǎn)N.證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù):
(I)當(dāng)時(shí),求的最小值;
(II)對(duì)于任意的都存在唯一的使得,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年1月8日,中共中央國務(wù)院隆重舉行國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì),在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的強(qiáng)勁動(dòng)力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y與這種新材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)時(shí),y是x的二次函數(shù);當(dāng)時(shí),測得數(shù)據(jù)如下表(部分):
x(單位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品中的新材料含量x為何值時(shí),產(chǎn)品的性能指標(biāo)值最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828……),函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,函數(shù)的最小值為m.
(I)求曲線的切線方程;
(Ⅱ)求證:;
(III)求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.
(1)證明:PC⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)D在棱AC上,且二面角D-PB-C為30°,求PD與平面PAB所成角的正弦值。
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