【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+ ﹣1(x≠0)
(1)當m=1時,判斷f(x)在(﹣∞,0)的單調性,并用定義證明;
(2)若對任意x∈(1,+∞),不等式 f(log2x)>0恒成立,求m的取值范圍.
(3)討論f(x)零點的個數(shù).

【答案】
(1)

解:由當m=1,且x<0時,f(x)=﹣x+ ﹣1是單調遞減的.

證明:設x1<x2<0,則

f(x1)﹣f(x2)=﹣x1+ ﹣1﹣(﹣x2+ ﹣1)=x2﹣x1+

=(x2﹣x1)﹣ =(x2﹣x1)(1+ ),

∵x1<x2<0,則x2﹣x1>0,x1x2>0,則有f(x1)﹣f(x2)>0,

f(x1)>f(x2

則f(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù)


(2)

解:由 f(log2x)>0得|log2x|+ ﹣1>0,

當x∈(1,+∞),log2x>0,

則不等式變形為(log2x)2﹣log2x+m>0,

即m>﹣(log2x)2+log2x,

而g(x)=﹣(log2x)2+log2x=﹣(log2x﹣ 2+ ,

當log2x= ,即x= 時,g(x)取得最大值 ,

∴m>


(3)

解:由f(x)=0可得x|x|﹣x+m=0,變?yōu)閙=﹣x|x|+x,x≠0

令h(x)=x﹣x|x|=

作出函數(shù)h(x)的圖象及直線y=m,由圖象可得:

當m> 或m<﹣ 時,f(x)有1個零點.

當m= 或m=0或m=﹣ 時,f(x)有2個零點;

當0<m< 或﹣ <m<0時,f(x)有3個零點.


【解析】(1)f(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù).運用函數(shù)的單調性的定義加以證明,注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟;(2)利用不等式恒成立,進行轉化求解即可,(3)利用函數(shù)與方程的關系進行轉化,利用參數(shù)分離法結合數(shù)形結合進行討論即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識點,需要掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較才能正確解答此題.

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