Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，記的最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得的定義域?yàn)?/span>，求出的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷的單調(diào)性;

（2）由（1）可得，要證，即證，即證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)求得函數(shù)的最大值即可推出結(jié)果.

（1）根據(jù)題意，可得的定義域?yàn)?/span>，

對(duì)求導(dǎo)可得：，

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，令可得，

當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可得，最小值為，即，

由題意需證明，即，即證明，即證明，

令，對(duì)求導(dǎo)有：，

因?yàn)?/span>，令可得：，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

所以，

即，即.