【題目】設(shè)函數(shù)(a,bR)的導(dǎo)函數(shù)為,已知,是的兩個不同的零點.
(1)證明:;
(2)當(dāng)b=0時,若對任意x>0,不等式恒成立,求a的取值范圍;
(3)求關(guān)于x的方程的實根的個數(shù).
【答案】(1)見解析;(2);(3)1個.
【解析】
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用△=4a2﹣12b>0,得證;
(2)分離參數(shù)a,所以a≥﹣x對任意x>0恒成立,令新函數(shù)設(shè)g(x)=﹣x求最值即可,或采用x3+ax2﹣xlnx≥0時求左側(cè)最值亦可.
(3)轉(zhuǎn)化函數(shù)求零點個數(shù)可得結(jié)論.
(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b.
已知x1,x2是f'(x)的兩個不同的零點,設(shè)x1<x2,
所以△=4a2﹣12b>0,所以:a2>3b得證;
(2)當(dāng)b=0時,對任意x>0,f(x)≥xlnx恒成立,
所以x3+ax2≥xlnx,即x3+ax2﹣xlnx≥0,x2+ax﹣lnx≥0對任意x>0恒成立,
所以a≥﹣x對任意x>0恒成立,
設(shè)g(x)=﹣x,則 ,
令h(x)=1﹣1nx﹣x2,則h(x)=﹣﹣2x<0,
所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,注意到h(1)=0,
當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0,g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,H(x)<0,g(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以,當(dāng)x=1時,g(x)有最大值g(1)=﹣1,
所以a的取值范圍為[﹣1,+∞);
(3)由題意設(shè)F(x)=f(x)﹣f(x1)﹣,
則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)的零點的個數(shù),
因為導(dǎo)函數(shù)為f(x)=3x2+2ax+b,已知x1,x2是f'(x)的兩個不同的零點,
所以:,所以:
,
所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,注意到F(x1)=0,所以F(x)在(0,+∞)上存在唯一零點x1,
∴關(guān)于x的方程有1個實根,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是南北方向的一條公路,是北偏東方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線.為方便游客光,擬過曲線上的某點分別修建與公路,垂直的兩條道路,,且,的造價分別為5萬元百米,40萬元百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則曲線符合函數(shù)模型,設(shè),修建兩條道路,的總造價為萬元,題中所涉及的長度單位均為百米.
(1)求解析式;
(2)當(dāng)為多少時,總造價最低?并求出最低造價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點.
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知點是圓上任意一點,過點作軸的垂線,垂足為,點滿足 記點的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè),點在曲線上,且直線與直線的斜率之積為,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了選修課程的60名學(xué)生,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡統(tǒng)計課程 | 不喜歡統(tǒng)計課程 | 合計 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 30 | 30 | 60 |
(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個樣本,從中任選3人,求恰有2個男生和1個女生的概率.
下面的臨界值表供參考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:
愛情婚姻 | 詠史懷古 | 邊塞戰(zhàn)爭 | 山水田園 | 交游送別 | 羈旅思鄉(xiāng) | 其他 | 總計 | |
篇數(shù) | 100 | 64 | 55 | 99 | 91 | 73 | 18 | 500 |
含“山”字的篇數(shù) | 51 | 48 | 21 | 69 | 48 | 30 | 4 | 271 |
含“簾”字的篇數(shù) | 21 | 2 | 0 | 0 | 7 | 3 | 5 | 38 |
含“花”字的篇數(shù) | 60 | 6 | 14 | 17 | 32 | 28 | 3 | 160 |
(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;
(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:
①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;
②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;
設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.
屬于“愛情婚姻”類 | 不屬于“愛情婚姻”類 | 總計 | |
含“花”字的篇數(shù) | |||
不含“花”的篇數(shù) | |||
總計 |
附:,其中.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某手機(jī)企業(yè)為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費用,統(tǒng)計了近年投入的年研發(fā)費用千萬元與年銷售量千萬件的數(shù)據(jù),得到散點圖1,對數(shù)據(jù)作出如下處理:令,,得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如圖2:
(1)利用散點圖判斷和哪一個更適合作為年研發(fā)費用和年銷售量的回歸類型(不必說明理由),并根據(jù)數(shù)據(jù),求出與的回歸方程;
(2)已知企業(yè)年利潤千萬元與的關(guān)系式為(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),根據(jù)(1)的結(jié)果,要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大,預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費用?
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