【題目】對于數(shù)列, , ,若滿足,則稱數(shù)列數(shù)列

若存在一個正整數(shù),若數(shù)列中存在連續(xù)的項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的項恰好按次序?qū)嗟龋瑒t稱數(shù)列階可重復數(shù)列,

例如數(shù)列因為 , , , 按次序?qū)嗟龋詳?shù)列階可重復數(shù)列

I)分別判斷下列數(shù)列, , , , , , .是否是階可重復數(shù)列?如果是,請寫出重復的這項;

II)若項數(shù)為的數(shù)列一定是 階可重復數(shù)列,則的最小值是多少?說明理由;

III)假設數(shù)列不是階可重復數(shù)列,若在其最后一項后再添加一項,均可 使新數(shù)列是階可重復數(shù)列,且,求數(shù)列的最后一項的值.

【答案】I;( 的最小值是;(III.

【解析】試題分析I)根據(jù)條件及給出的新定義判斷;II)結(jié)合所給出的新定義,分類討論可得結(jié)果;III)用反證法進行推理,可得而

試題解析

I

Ⅱ)因為數(shù)列的每一項只可以是,所以連續(xù)項共有種不同的情形.

,則數(shù)列中有組連續(xù)項,則這其中至少有兩組按次序?qū)嗟,即項?shù)為的數(shù)列一定是階可重復數(shù)列;

,數(shù)列, , , , , , 不是階可重復數(shù)列;則時,均存在不是階可重復數(shù)列的數(shù)列

所以要使數(shù)列一定是階可重復數(shù)列,則的最小值是

III)由于數(shù)列在其最后一項后再添加一項,均可使新數(shù)列是階可重復數(shù)列,即在數(shù)列的末項后再添加一項,

則存在,使得 , , , , , , 按次序?qū)嗟,?/span> , , , , , , 按次序?qū)嗟,如?/span> , , , , 不能按次序?qū)嗟龋?/span>

那么必有, , ,使得, , , , , , , , 按次序?qū)嗟龋?/span>

此時考慮, ,其中必有兩個相同,這就導致數(shù)列中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)嗟,從而?shù)列階可重復數(shù)列,這和題設中數(shù)列不是階可重復數(shù)列矛盾!

所以, , , , 按次序?qū)嗟,從?/span>

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D.

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