Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）在四棱錐中， 平面，得到，由四邊形為直角梯形，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到．

（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（3）由（2），設(shè)，利用換元法求得，結(jié)合在上的單調(diào)性，即可計(jì)算得到結(jié)論．

（1）由題意，在四棱錐中，平面，

因?yàn)?/span>平面，所以，

又由四邊形為直角梯形，所以，

因?yàn)?/span>，且平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得,

由題意，可得，又由，可得平面，

所以是平面的一個(gè)法向量，

又由，

設(shè)平面的法向量為，

由，取，可得，

所以，

所以平面與平面所成二面角的余弦值為．

（3）由（2）可得，設(shè)，

又，則，

又，從而，

設(shè)，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，

因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，此時(shí)直線與所成的角取得最小值，

又因?yàn)?/span>，所以.