Question

【題目】，，…，是一個(gè)數(shù)列，對(duì)每個(gè)，，.如果，兩數(shù)不同，寫；如果，兩數(shù)相同，寫.于是得到一個(gè)新數(shù)列，，…，，其中.重復(fù)上述方法，得到一個(gè)由0及1兩個(gè)數(shù)字組成的三角形數(shù)表，最后一行僅一個(gè)數(shù)字，求這張數(shù)字表中1的和的最大值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用表示所求數(shù)目的最大值，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于，；對(duì)于，；因?yàn)?/span>，，一共有6種可能的排列；0，0，0；1，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；0，1，0；在第2，3，4種情況時(shí)，，其余情況皆小于4.

現(xiàn)在尋找與的關(guān)系，考慮行情況，前三行為

…

…

…

下面證明，在前三行中，有不少于個(gè)零，如果三數(shù)中至少有一個(gè)零，將這三數(shù)作為一組，捆在一起，放入一個(gè)盒內(nèi)，如果某全為1，那么，，，及兩組，捆在一起，至少有兩個(gè)零，也放入這個(gè)盒內(nèi)，那么從第一組開始，依次進(jìn)行上述操作，最后，有兩種可能：第一種可能已放入盒內(nèi)，這時(shí)盒內(nèi)至少有個(gè)零，最后三數(shù)至少有一個(gè)零；第二種可能由于全為1，沒放入盒內(nèi)，這時(shí)盒內(nèi)至少有個(gè)零，但，，兩組與中至少有兩個(gè)零，因此，前三行至少有個(gè)零，換句話講，前三行至多個(gè)1，那么有. ①

當(dāng)時(shí)，從上式，有

，

，

，

……

.

上述不等式相加，有. ②

當(dāng)，從①出發(fā)，類似可證. ③

當(dāng)，有. ④

②、③和④可以合并為一個(gè)不等式. ⑤

能達(dá)到，看下圖.

1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0

0 1

1

每三行作為一段，在一段內(nèi)，第一行是1，1，0三數(shù)不斷周期出現(xiàn)，第一行數(shù)的個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù).第二行是0，1，1三數(shù)不斷周期出現(xiàn)，最后二個(gè)數(shù)字是0，1，第三行是1，0，1三數(shù)不斷周期出現(xiàn)，最后一個(gè)數(shù)字是1，換句話講，倒過來(lái)數(shù)，每行1的數(shù)目分別為1，1，2，3，3，4，5，5，6，…，那么，

， ⑥

， ⑦

， ⑧

這里是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，⑦、⑧也是正確的.

由⑥、⑦和⑧可以合并為一個(gè)不等式.

因此，.