Question

【題目】設(shè)曲線（），是直線上的任意一點(diǎn)，過作的切線，切點(diǎn)分別為、，記為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）設(shè)，求的面積；

（2）設(shè)、、的縱坐標(biāo)依次為、、，求證：；

（3）設(shè)點(diǎn)滿足，是否存在這樣的點(diǎn)，使得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由題意求出拋物線方程，得到，對函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，由題意得到切線、的方程根據(jù)在兩切線上，求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)弦長公式，以及三角形面積公式，即可求出結(jié)果；

（2）設(shè)，，類比（1）求出直線、的方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)題意，即可證明結(jié)論成立；

（3）先假設(shè)存在點(diǎn)，使得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，設(shè)，，，，由題意得到的中點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上，列出方程組，根據(jù)題意求出或；分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，且是直線上的任意一點(diǎn)，

所以，所以，曲線，即，所以，

設(shè)，，其中，，則，，

所以切線的斜率為，切線的斜率為，

故切線的方程為：，即，

同理：切線的方程為，

因?yàn)?/span>在兩切線上，所以，

故、都在直線，即上，

所以，直線的方程為，

由可得：，所以，

因此，

又到直線的距離為：，

所以；

（2）如圖所示：

設(shè)，，則直線的方程為：，即，

同理可得直線的方程為：，

由，解得，由于點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

所以，即；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，

設(shè)，，，，

由題意得：，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，

直線的方程為：，

由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，

即，，

兩式相減可得：；

若在拋物線上，則，

因此或，即或；

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，對于，此時(shí)，

，又，

由，所以，

即，矛盾；

對于，因?yàn)?/span>，此時(shí)直線平行于軸，

又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾；

所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)；

綜上所述，僅存在一點(diǎn)，滿足題意.