Question

【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向上移4個(gè)單位，得到幾何體如圖一.現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域面積相等，則此圓柱的體積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：首先確定底面積，然后結(jié)合柱體的體積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可知，圖一中底面積是由一個(gè)四分之一圓與一個(gè)直角三角形組成的圖形，

由可知，該四分之一圓的半徑為2，其面積為：,

由，令可得，由可得，

則直角三角形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

直角三角形的面積，

結(jié)合題意可得：區(qū)域A的面積，即圓柱的底面積：，

結(jié)合祖暅原理可得，此圓柱的體積.