Question

已知拋物線方程C：y²=2px（p＞0），點(diǎn)F為其焦點(diǎn)，點(diǎn)N（3，1）在拋物線C的內(nèi)部，設(shè)點(diǎn)M是拋物線C上的任意一點(diǎn)，|

MF

|+|

MN

|的最小值為4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)P，且

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是定值，求出該定值并證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）準(zhǔn)線方程為l：x=-

p

2

，點(diǎn)M到l的距離設(shè)為d，由拋物線定義，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），設(shè)l：y=k（x-1），則P（0，-k），由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂），由此能夠判斷λ₁+λ₂是為定值-1．

解答：解：（1）準(zhǔn)線方程為l：x=-

p

2

，點(diǎn)M到l的距離設(shè)為d，由拋物線定義，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，p=2，所以y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）
由題意知直線l的斜率k存在且不等于0，
設(shè)l：y=k（x-1），則P（0，-k），
由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂）∴k=λ₁y₁=λ₂y₂∵k≠0，∴λ1=

k

y1

，λ2=

k

y2

，λ1+λ2=k×

y1+y2

y1y2

，
將y=k（x-1）代入y²=4x得y2-

4

k

y-4=0，y1+y2=

4

k

，y1•y2=-4∴

y1+y2

y1y2

=-

4

k

×

1

4

=-

1

k

，∴λ1+λ2=k×(-

1

k

)=-1為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．