Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）判斷并證明函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）在（2）條件下，若對任意的正數(shù),不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)（2）（3）的取值范圍﹤

【解析】

（1）在定義域上任取兩個變量，且規(guī)定大小，再將對應的函數(shù)值作差變形看符號，利用單調性的定義即可得到結論．

（2）由f（x）是R上的奇函數(shù)所以f（x）+f（﹣x）＝0求得．

（3）先求得a，結合（1）（2）得﹥對任意的﹥0恒成立，利用二次函數(shù)圖像及性質可得答案．

（1）函數(shù)為R上的增函數(shù)，證明如下：

函數(shù)的定義域為R，對任意，

設﹤，，

因為為R上的增函數(shù)，且﹤，所以﹤0，﹤0， ﹤函數(shù)為R上的增函數(shù)。

（2）∵函數(shù)為奇函數(shù)

∴，∴

當時，

∴，

此時，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意。

所以.

（3）因為函數(shù)為奇函數(shù)，從而不等式﹥0對任意的恒成立等價于不等式﹥對任意的恒成立。

又因為在（—∞，+∞）上為增函數(shù)，

所以等價于不等式﹥對任意的﹥0恒成立，

即2﹥0對任意的﹥0恒成立.

所以必須有﹥0且△﹤0；或，

所以實數(shù)的取值范圍﹤