Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：函數(shù)有且僅有一個零點；

（Ⅲ）當時，寫出函數(shù)的零點的個數(shù).（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當時， 有一個零點；當且時， 有兩個零點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到， ，進而得到切線的方程.

（Ⅱ）當時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，進而得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，即可證明結(jié)論；

（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，可得當和且時時， 零點的個數(shù).

試題解析：

（Ⅰ）因為函數(shù),所以

故， ， 曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當時，令，則

故是上的增函數(shù).

由，故當時， ，當時， .

即當時， ，當時， .

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

函數(shù)的最小值為，由，故有且僅有一個零點.

（Ⅲ）當時， 有一個零點；當且時， 有兩個零點.