Question

【題目】在正方形中， 的中點(diǎn)為點(diǎn)， 的中點(diǎn)為點(diǎn)，沿將向上折起得到，使得面面，此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)處．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求面與面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用折疊前后的不變量得到有關(guān)垂直關(guān)系，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）證明有關(guān)線面垂直和線線垂直，進(jìn)而建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接， ，

如圖所示，在正方形中， 為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，所以；

由于為沿著翻折而來，從而，所以面，

而在平面內(nèi)，所以.

（Ⅱ）設(shè)中點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接. 同（Ⅰ）可證，從而面面，所以；由面，可得面面，又因?yàn)槊?/span>面，且面與面相交于，所以面．

設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行于，作軸平行于， 為軸，如圖所示，不妨設(shè)正方形邊長為3，從而， ， ， ， ， ，

又因?yàn)?/span>，所以， ，在直角中，由勾股定理可得，

所以，即，所以可以求得面的法向量為，面的法向量為，所以可以得出法向量，則所求二面角的正弦值為．