Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，且PA=AD=2， ，E、F分別為AD、PC中點．
（1）求點F到平面PAB的距離；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，取PB中點G，連接FG、AG，

∵底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，BD= ，∴底面ABCD為正方形，

∵E、F分別為AD、PC中點，∴FG∥BC，F(xiàn)G= ，AE∥BC，AE= ，

則FG∥AE且FG=AE，四邊形AEFG為平行四邊形，故AG∥FE，

∵AG平面PAB，EF平面PAB，∴EF∥平面PAB，

∴點F與點E到平面PAB的距離相等，即距離為EA=1

（2）證明：由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，

∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，

∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AG，又PB∩BC=B，

∴AG⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，

∵EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC

（3）解：作EM⊥PD于M，連接FM，

∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥EM，

∴EM⊥平面PCD，則EM⊥PC．

由（2）知，EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，

又EM∩EF=E，∴PC⊥平面EFM，

∴FM⊥PC，

∴∠MFE為二面角E﹣PC﹣D的平面角或其補角．

∵PA=AD=2，∴EF=AG= ，EM= ．

∴sin∠MEF= ，則∠MFE=30°．

即二面角E﹣PC﹣D的大小為30°．

【解析】（1）取PB中點G，連接FG、AG，由已知可得底面ABCD為正方形，再由E、F分別為AD、PC中點，可得四邊形AEFG為平行四邊形，得到AG∥FE，由線面平行的判定可得EF∥平面PAB，從而得到點F與點E到平面PAB的距離相等，即距離為EA=1；（2）由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，再由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PA，由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，得到BC⊥AG，進(jìn)一步得到AG⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，由面面垂直的判定可得平面PCE⊥平面PBC；（3）作EM⊥PD于M，連接FM，由CD⊥平面PAD，得CD⊥EM，進(jìn)一步得到EM⊥PC．結(jié)合（2）知，EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，可得FM⊥PC，從而得到∠MFE為二面角E﹣PC﹣D的平面角或其補角．然后求解三角形可得二面角E﹣PC﹣D的大小為30°．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．