給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（ⅰ）當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

（1）,,（2）（�。�，（ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（1）求橢圓方程，利用待定系數(shù)法，列兩個獨立方程就可解出因為短軸上的一個端點到的距離為，所以而所以再根據(jù)“準圓”定義，寫出“準圓”方程.（2）（ⅰ）直線與橢圓相切問題，通常利用判別式為零求切線方程，利用點斜式設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消得關于的一元二次方程，由判別式為零得斜率,即證得兩直線垂直.（ⅱ）本題是（�。┑囊话慊�，首先對斜率是否存在進行討論，探討得斜率不存在時有兩直線垂直，即將問題轉化為研究直線是否垂直問題，具體就是研究是否成立.研究思路和方法同（�。�，由于點坐標在變化，所以由判別式為零得關于點坐標的一個等式：，即，而這等式對兩條切線都適用，所以的斜率為方程兩根，因此.當垂直時，線段為準圓的直徑，為定值4.
試題解析：解：（1），
橢圓方程為，                            2分
準圓方程為.                             3分
（2）（�。┮驗闇蕡A與軸正半軸的交點為，
設過點且與橢圓相切的直線為，
所以由得.
因為直線與橢圓相切，
所以，解得，       6分
所以方程為.                 7分
，.                              8分
（ⅱ）①當直線中有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，
則：，
當：時，與準圓交于點，
此時為（或），顯然直線垂直；
同理可證當：時，直線垂直.             10分
②當斜率存在時，設點，其中.
設經(jīng)過點與橢圓相切的直線為，
所以由

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點，直線、分別交直線于點、.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱.

（1）若點P的坐標，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：()的短軸長為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程
（2）若過點M（2,0）的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設P為橢圓C上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數(shù)的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓以雙曲線的實軸為短軸、虛軸為長軸，且與拋物線交于兩點.
（1）求橢圓的方程及線段的長；
（2）在與圖像的公共區(qū)域內(nèi)，是否存在一點，使得的弦與的弦相互垂直平分于點？若存在，求點坐標，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點、，求橢圓C的方程；
(2)當c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點E，并求·的值(O是坐標原點)；
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

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