已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

(1)（2）見解析

解析試題分析：(1)由離心率，右焦點坐標(biāo)易得各常量值. (2)先假設(shè)，當(dāng)直線AB斜率存在時，與橢圓方程聯(lián)立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數(shù)的關(guān)系，可得4 m2＝3 k2＋3，代入點到直線的距離可得d＝.
試題解析：（1）由右焦點為(，0)，則，又，所以，
那么                                   4分
（2） 設(shè)，，若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0       10分
代入，得4 m2＝3 k2＋3原點到直線AB的距離d＝.      12分
當(dāng)AB的斜率不存在時，,可得，依然成立．   13分
所以點O到直線的距離為定值           14分
考點：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)概念，標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切于點.

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點滿足，其中M、N是橢圓上的點，為原點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
（1）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點.
（�。┊�(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標(biāo)；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于兩點,為拋物線上異于的任意一點,記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

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同步練習(xí)冊答案