【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)已知函數(shù)為偶函數(shù),求的值;
(Ⅱ)若,證明:當(dāng)時,;
(Ⅲ)若在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)利用偶函數(shù)的定義,化簡后可得實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性,進(jìn)而可證得;
(Ⅲ)令得,令,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅰ)函數(shù)為偶函數(shù),所以,即,
整理得對任意的恒成立,;
(Ⅱ)當(dāng)時,,則,
,則,,,
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,;
(Ⅲ)由,得,設(shè)函數(shù),,
則,令,得.
隨著變化,與的變化情況如下表所示:
極大值 |
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)?/span>,,,且,如下圖所示:
所以,當(dāng)時,方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同解,
因此,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,《周牌算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中有5部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”課外閱讀教材則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面是正方形,平面,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大小;
(3)試判斷所在直線與平面是否平行,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過橢圓的焦點(diǎn),且橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(為橢圓的焦距).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點(diǎn),且交橢圓于點(diǎn)的直線,滿足.若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是我國古代計(jì)算圓周率的一種方法.在公元年左右,由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積,進(jìn)而求.當(dāng)時劉微就是利用這種方法,把的近似值計(jì)算到和之間,這是當(dāng)時世界上對圓周率的計(jì)算最精確的數(shù)據(jù).這種方法的可貴之處就是利用已知的、可求的來逼近未知的、要求的,用有限的來逼近無窮的.為此,劉微把它概括為“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣”.這種方法極其重要,對后世產(chǎn)生了巨大影響,在歐洲,這種方法后來就演變?yōu)楝F(xiàn)在的微積分.根據(jù)“割圓術(shù)”,若用正二十四邊形來估算圓周率,則的近似值是( )(精確到)(參考數(shù)據(jù))
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某語文報社為研究學(xué)生課外閱讀時間與語文考試中的作文分?jǐn)?shù)的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了本市某中學(xué)高三文科班名學(xué)生每周課外閱讀時間(單位:小時)與高三下學(xué)期期末考試中語文作文分?jǐn)?shù),數(shù)據(jù)如下表:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
38 | 40 | 43 | 45 | 50 | 54 |
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),求出高三學(xué)生語文作文分?jǐn)?shù)與該學(xué)生每周課外閱讀時間的線性回歸方程,并預(yù)測某學(xué)生每周課外閱讀時間為小時時其語文作文成績;
(2)從這人中任選人,這人中至少有人課外閱讀時間不低于小時的概率.
參考公式:,其中,
參考數(shù)據(jù):,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,直線與曲線和曲線都相切,切點(diǎn)分別為,,求證:.
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