Question

【題目】如圖，橢圓 的右頂點(diǎn)為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 ，過點(diǎn) 且斜率為 的直線與 軸交于點(diǎn) ，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn) ，且點(diǎn) 在 軸上的射影恰好為點(diǎn) ．

（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn) 的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)（ 不與 重合），若 ，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時(shí)， 軸，得到點(diǎn)
所以，所以橢圓 的方程是
（2）解：因?yàn)? ， 所以 ．
設(shè) ，則 ，有
①當(dāng) 斜率不存在， 的方程為 ，
或 ，(不合條件,舍去)
②當(dāng) 斜率存在，由（Ⅰ）可知 ，設(shè) 方程為 ，
聯(lián)立方程 得： ．
由韋達(dá)定理可得 ，將 代入可得 ，
即 ．所以 ．
所以直線 的方程為 或
【解析】（1）首先由條件得到直線AP的方程，根據(jù)“B和F1”的橫坐標(biāo)相同可得到B的坐標(biāo)，代入直線AP，得到a，b，c一組關(guān)系；再由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2得到一組關(guān)系；最后根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，得到a=2，代入方程求解b，c的值。
（2）由上題已知A，B的坐標(biāo)，面積之比為6，可以利用三角函數(shù)表示三角形的面積，將面積比轉(zhuǎn)化為邊長比，再轉(zhuǎn)化為向量比，向量由點(diǎn)的坐標(biāo)表示，可設(shè)出M，N的坐標(biāo)和直線MN的方程；聯(lián)立直線MN和橢圓，得到系數(shù)由k表示的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到x1和x2的關(guān)系，進(jìn)而得到直線MN的斜率k。