【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)討論函數(shù)的極值,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,求證:函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值;(Ⅲ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)利用得;利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,則;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函數(shù)單調(diào)遞增,無(wú)極值;當(dāng),可證得有兩根,即有兩根,從而可得函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值;(Ⅲ)由(Ⅱ)知且;利用和表示,代入函數(shù)中,可表示出和;根據(jù)和設(shè),通過(guò)導(dǎo)數(shù)可驗(yàn)證出單調(diào)遞減,進(jìn)而求得,,結(jié)合圖象可證得結(jié)論.
(Ⅰ)由得:
在上是增函數(shù) 在上恒成立
即:在上恒成立
設(shè),則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
即在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增
即的取值范圍為:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),此時(shí)無(wú)極值;
當(dāng)時(shí),令,即
時(shí),;;時(shí),
有兩個(gè)根,設(shè)兩根為,且
可知:和時(shí),;時(shí),
即在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
在處取得極大值;在處取得極小值
綜上所述:當(dāng)時(shí),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,有兩個(gè)極值點(diǎn),,則,且
;
又
令,則
則在上恒成立,即在上單調(diào)遞減
又 時(shí),;時(shí),
,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
可得大致圖象如下:
有三個(gè)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線以A、B為頂點(diǎn),焦距為,點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍;
(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對(duì)稱?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),將曲線上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn).
(1)求曲線的參數(shù)方程和的取值范圍;
(2)求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,圓,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2,證明:直線l過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖像.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角中,角的對(duì)邊分別為,若,,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格,及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,最高銷售限價(jià)b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x(b﹣a),這里,x被稱為樂(lè)觀系數(shù).
經(jīng)驗(yàn)表明,最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中項(xiàng),據(jù)此可得,最佳樂(lè)觀系數(shù)x的值等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線x=﹣2上有一動(dòng)點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作直線l,垂直于y軸,動(dòng)點(diǎn)P在l1上,且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)已知定點(diǎn)M(,0),N(,0),點(diǎn)A為曲線C上一點(diǎn),直線AM交曲線C于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)A在線段MB上,直線AN交曲線C于另一點(diǎn)D,求△MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值;
(2)若已知f(1)=,且函數(shù)在區(qū)間[1,+∞])上的最小值為—2,求實(shí)數(shù)m的值.
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