【題目】在平面直角坐標系中,曲線為參數(shù)),將曲線上所有點橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到曲線,過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點.

1)求曲線的參數(shù)方程和的取值范圍;

2)求中點的軌跡的參數(shù)方程.

【答案】1)參數(shù)方程為為參數(shù)),的取值范圍是;

2為參數(shù),).

【解析】

1)根據(jù)伸縮變換可得出曲線的參數(shù)方程,然后分兩種情況討論,結(jié)合直線與曲線相交得出的取值范圍;

2)寫出直線的參數(shù)方程為為參數(shù),),并設(shè)、、對應(yīng)的參數(shù)分別為、、,可得出,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,得出關(guān)于的二次方程,由韋達定理可得出關(guān)于的表達式,代入直線的參數(shù)方程可得出點的軌跡的參數(shù)方程.

1)曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))

時,交于兩點;

時,記,則的方程為,交于兩點當且僅當,解得,即

綜上,的取值范圍是;

2的參數(shù)方程為為參數(shù),).

設(shè)、、對應(yīng)的參數(shù)分別為、、,曲線的普通方程為,

將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立得,

,且、滿足

于是,,

又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù),).

練習冊系列答案
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