【題目】如圖,為信號源點,、、是三個居民區(qū),已知、都在的正東方向上,,,在的北偏西45°方向上,,現(xiàn)要經(jīng)過點鋪設(shè)一條總光纜直線(在直線的上方),并從、、分別鋪設(shè)三條最短分支光纜連接到總光纜,假設(shè)鋪設(shè)每條分支光纜的費用與其長度的平方成正比,比例系數(shù)為1元/,設(shè),(),鋪設(shè)三條分支光纜的總費用為(元).
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式;
(2)求的最小值及此時的值.
【答案】(1);(2),.
【解析】
(1)對直線的斜率是否存在分類討論,求出三點到直線的距離,鋪設(shè)三條分光纜的總費用即可求關(guān)于的函數(shù)表達式;
(2)由(1)中的表達式利用換元法,利用基本不等式,可求的最小值及此時的值.
(1) 以點位坐標(biāo)原點,為軸建立直角坐標(biāo)系,
則,
當(dāng)直線的斜率不存在,即時,
三點到直線的距離分別為10,20,5
所以此時=,
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為:,,
三點到直線的距離分別為:,
所以
.
所以
(2) 當(dāng)直線的斜率不存在時,=,
當(dāng)直線的斜率存在時,
設(shè),
當(dāng)即時,=.
當(dāng)即時,.
因為當(dāng)時(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)
當(dāng)時, (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)
所以的最小值為
此時.
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【題目】若實數(shù)x,y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4,則當(dāng)x+2y取得最大值時,的值為________.
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【題目】如圖,已知在長方體中,,點為上的一個動點,平面與棱交于點,給出下列命題:
①四棱錐的體積為;
②存在唯一的點,使截面四邊形的周長取得最小值;
③當(dāng)點不與,重合時,在棱上均存在點,使得平面
④存在唯一一點,使得平面,且
其中正確的命題是_____________(填寫所有正確的序號)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),將曲線上所有點橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線,過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點.
(1)求曲線的參數(shù)方程和的取值范圍;
(2)求中點的軌跡的參數(shù)方程.
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【題目】已知圓,圓,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點的直線l與曲線C相交于A,B兩點,直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2,證明:直線l過定點.
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【題目】商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,及根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格c=a+x(b﹣a),這里,x被稱為樂觀系數(shù).
經(jīng)驗表明,最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中項,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于 .
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學(xué)用語,“塹堵”意指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱,而“陽馬”指底面為矩形,且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵,,若,當(dāng)陽馬體積最大時,則塹堵的外接球體積為( )
A.B.C.D.
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