【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)， ，且，求證： ，其中是的導(dǎo)函數(shù).

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）由于的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， ，可得方程的兩個(gè)根為， ，得到，可得，經(jīng)過(guò)變形只要證明，通過(guò)換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，∴切線方程為，即．

（Ⅱ）∵的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， ，∴方程的兩個(gè)根為， ，則，兩式相減得，又， ，則，下證（*），即證明，令，∵，∴，即證明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函數(shù)，則，從而知，故（*）式，即成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，為的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，平面，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)為，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，互相垂直，直線過(guò)且與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線過(guò)且與橢圓交于，兩點(diǎn).求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍和這兩個(gè)根的和

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知甲同學(xué)每投籃一次，投進(jìn)的概率均為.

（1）求甲同學(xué)投籃4次，恰有3次投進(jìn)的概率；

（2）甲同學(xué)玩一個(gè)投籃游戲，其規(guī)則如下：最多投籃6次，連續(xù)2次不中則游戲終止.設(shè)甲同學(xué)在一次游戲中投籃的次數(shù)為，求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，

．

其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．

（Ⅰ）若，，試寫(xiě)出，的表達(dá)式；

（Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.

(Ⅰ)求角C的大��；

(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為，求C的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無(wú)極小值；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)，由題意可得，即，又由條件得，構(gòu)造，令，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且，無(wú)極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點(diǎn)睛：（1）研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲�、函數(shù)的變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校在學(xué)年期末舉行“我最喜歡的文化課”評(píng)選活動(dòng)，投票規(guī)則是一人一票，高一（1）班44名學(xué)生和高一（7）班45名學(xué)生的投票結(jié)果如下表（無(wú)廢票）：

語(yǔ)文

數(shù)學(xué)

外語(yǔ)

物理

化學(xué)

生物

政治

歷史

地理

高一（1）班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一（7）班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本，把兩個(gè)班同一學(xué)科的得票之和定義為該年級(jí)該學(xué)科的“好感指數(shù)”.

（Ⅰ）如果數(shù)學(xué)學(xué)科的“好感指數(shù)”比高一年級(jí)其他文化課都高，求的所有取值；

（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學(xué)生中任意選取位同學(xué)，設(shè)隨機(jī)變量為投票給地理學(xué)科的人數(shù)，求的分布列和期望；

（Ⅲ）當(dāng)為何值時(shí)，高一年級(jí)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科的“好感指數(shù)”的方差最小?（結(jié)論不要求證明）

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