【題目】某工廠的污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為.經(jīng)化驗檢測,若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放;若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有個標(biāo)準(zhǔn)水量的A級水池,分別取樣、檢測. 多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo),則混合樣本的化驗結(jié)果必不達(dá)標(biāo).若混合樣本不達(dá)標(biāo),則該組中各個樣本必須再逐個化驗;若混合樣本達(dá)標(biāo),則原水池的污水直接排放.

現(xiàn)有以下四種方案,

方案一:逐個化驗;

方案二:平均分成兩組化驗;

方案三:三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨(dú)化驗;

方案四:混在一起化驗.

化驗次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.

(Ⅰ) 若,求個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率;

(Ⅱ) 若,現(xiàn)有個A級水樣本需要化驗,請問:方案一,二,四中哪個最“優(yōu)”?

(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(II)見解析;(III)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)所給相互獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率為兩相互獨(dú)立事件概率乘積,及相互獨(dú)立事件的概率和為,可得結(jié)果;(Ⅱ)分別求出三種方案對應(yīng)分布列,進(jìn)一步求出各自的期望值,比較期望值大小得最優(yōu)方案;(Ⅲ)分別求出期望值,利用期望大小關(guān)系建立關(guān)于的不等式,解得的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是; 2分

所以根據(jù)對立事件原理,不達(dá)標(biāo)的概率為

(II)方案一:逐個檢測,檢測次數(shù)為

方案二:由(I)知,每組兩個樣本的檢測時,若達(dá)標(biāo)則檢測次數(shù)為,概率為;若不達(dá)標(biāo)則檢測次數(shù)為,概率為. 故方案二的檢測次數(shù) 可能取, , .概率分布列如下,

可求得方案二的期望為,

方案四:混在一起檢測,記檢測次數(shù)為 可取, .概率分布列如下,

可求得方案四的期望為

比較可得,故選擇方案四最“優(yōu)”.

(III)解:方案三:設(shè)化驗次數(shù) 可取,

;

方案四:設(shè)化驗次數(shù) 可取,

;

由題意得

故當(dāng),方案三比方案四更優(yōu)

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