【題目】已知函數(shù), 的導(dǎo)函數(shù).

(1)若處的切線方程為,求的值;

(2)若時取得最小值,求的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,當時, .

【答案】(1)a=-1;(2)[0,1];(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù) ,即可得結(jié)果;(2)分三種情況分別求函數(shù)的最小值,分別驗證是否時取得最小值,即可得結(jié)果;(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分兩種情況分別利用分析法證明即可.

試題解析:(1)f(x)=x-asinx,f()=-a= 所以a=-1,經(jīng)驗證a=-1合題意;

(2)g(x)= f(x)= x-asinx g(x)=1-acosx

①當a=0時, f(x)= x2,顯然在x=0時取得最小值, ∴a=0合題意;

②當a>0時,

(i)當≥1即0<a≤1時, g(x)≥0恒成立, ∴g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=0

∴當x<0時,g(x)<0 即f(x)<0, 當x>0時,g(x)>0 即f(x)>0

∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

∴f(x) 在x=0時取得最小值

∴當0<a≤1時合題意;

(ii)當0<<1即a>1時,在(0,)內(nèi)存在唯一x0=arccos使g(x)=0

當x(0,x0)時, ∵y=cosx在(0,)上是單調(diào)遞減的, ∴cosx>cosx0=

∴g(x)= a (-cosx)<0 ∴g(x) 在(0, x0)上單調(diào)遞減 ∴g(x)<g(0)=0

即f(x)<0 ∴f(x)在(0, x0)內(nèi)單調(diào)遞減;

∴x(0,x0)時,f(x)<0 這與f(x)在x=0時取得最小值即f(x)≥f(0)矛盾

∴當a>1時不合題意;

綜上, a的取值范圍是[0,1].

(3)由(1)知,a=-1 此時g(x)= x+sinx, g(x)=1+cosx

==|cos|≥cos

∴若要證原不等式成立,只需證cos+x2>成立;

由(2)知,當a=1時,f(x)≥f(0)恒成立,即x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1-x2(當且僅當x=0時取"="號)

∴cos≥1-x2(當且僅當x=0時取"="號) ……………①

∴只需證: 1-x2+x2>成立,即1+x2>

又由均值不等式知:1+x2≥x(當且僅當x=2時取"="號) ……………②

∵①②兩個不等式取"="的條件不一致

∴只需證: x≥

兩邊取對數(shù)得:lnx≥1-……………③

下面證③式成立:令(x)=lnx-1+

(x)= -=(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增

(x)≥(1)=0

即lnx-1+≥0 ∴l(xiāng)nx≥1-

即③式成立

∴原不等式成立

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某廠現(xiàn)有個標準水量的A級水池,分別取樣、檢測. 多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有樣本不達標,則混合樣本的化驗結(jié)果必不達標.若混合樣本不達標,則該組中各個樣本必須再逐個化驗;若混合樣本達標,則原水池的污水直接排放.

現(xiàn)有以下四種方案,

方案一:逐個化驗;

方案二:平均分成兩組化驗;

方案三:三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨化驗;

方案四:混在一起化驗.

化驗次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.

(Ⅰ) 若,求個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達標的概率;

(Ⅱ) 若,現(xiàn)有個A級水樣本需要化驗,請問:方案一,二,四中哪個最“優(yōu)”?

(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.

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