(2011•南充一模)在銳角三角形ABC中,角A,B,C對(duì)邊a,b,c且a2+b2-
2
ab=c2,tanA-tanB=csc2A
①求證:2A-B=
π
2

②求三角形ABC三個(gè)角的大。
分析:(1)將等式tanA-tanB=csc2A進(jìn)行“切化弦”,再利用二倍角的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得tan(-2A)=tan
π
2
-B
),結(jié)合A、B均為銳角得-2A+π=
π
2
-B
,即得2A-B=
π
2
成立;
(2)利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子,結(jié)合題意解出cosC=
2
2
,從而得到C=
π
4
.再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和(1)的等式聯(lián)解,即可得到△ABC三個(gè)角的大。
解答:解:(1)∵tanA-tanB=csc2A,即
sinA
cosA
-
sinB
cosB
=
1
sin2A

2sin2A-1
2sinAcosA
=
sinB
cosB
,可得-
cos2A
sin2A
=
cos(
π
2
-B)
sin(
π
2
-B)

即-tan2A=tan(
π
2
-B
),得tan(-2A)=tan(
π
2
-B
),
∵A、B∈(0,
π
2
),∴-2A+π=
π
2
-B
,解之得2A-B=
π
2

(2)∵a2+b2-
2
ab=c2,
∴根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得cosC=
2
2

結(jié)合C∈(0,
π
2
),得C=
π
4

由三角形內(nèi)角和定理,得A+B=
4

根據(jù)(1)2A-B=
π
2
,聯(lián)解得A=
12
,B=
π
3

綜上所述,三角形ABC三個(gè)角的大小分別為A=
12
,B=
π
3
,C=
π
4
點(diǎn)評(píng):本題給出三角形的邊和角滿足的條件,求三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小.著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角三角函數(shù)公式和余弦定理等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)已知函數(shù)f(x)=x+x3,x1,x2,x3∈R,x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,那么f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)若直線2x-y+c=0按向量
a
=(1,-1)平移后與曲線
x=
5
cosθ
y=
5
sinθ
(θ為參數(shù))相切,則實(shí)數(shù)c等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域是〔0,m〕,值域?yàn)椤?
25
4
,-4〕,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+
1
n
),則an=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)使奇函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+
3
cos(2x+θ)在〔-
π
4
,0〕上為減函數(shù)的一個(gè)θ值為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案