Question

【題目】我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)、滿足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù).

（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，，的解析式；

（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用似周期函數(shù)的性質(zhì)、圖像關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，證得，由此證得是偶函數(shù).

（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.

（3）根據(jù)（2）中求得的解析式，畫出圖像和的圖像，確定的大致區(qū)間，令，求得對(duì)應(yīng)的值，由此確定的取值范圍.

（1）依題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由于圖像關(guān)于對(duì)稱，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以，故函數(shù)為偶函數(shù).

（2）由于，，所以，得.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

……

以此類推，當(dāng)時(shí)，.

同理，由于，，所以，得.

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

……

以此類推，當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)，時(shí)，

（3）由（2）畫出的圖像、函數(shù)圖像如下圖所示.由圖可知，從左往右，從開(kāi)始，與圖像有交點(diǎn).由（2）知，當(dāng)時(shí)， ；令，解得或.結(jié)合圖像可知，要使對(duì)任意，都有，則.故的取值范圍是