【題目】已知數(shù)列滿足,().
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,若數(shù)列滿足,且對任意的恒成立,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析,;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)通過對(n+1)an+1﹣(n+2)an=2變形、裂項可知﹣=2(﹣),進而利用累加法、并項相加,計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)可知bn=n,通過令f(x)=x,求導(dǎo)可知函數(shù)f(x)先增后減,進而計算可得結(jié)論.
∵(n+1)an+1﹣(n+2)an=2,
∴﹣==2(﹣),
又∵=1,
∴當(dāng)n≥2時,=+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
=1+2(﹣+﹣+…+﹣)
=,
又∵=1滿足上式,
∴=,即an=2n,
∴數(shù)列{an}是首項、公差均為2的等差數(shù)列;
(Ⅱ)解:由(I)可知==n+1,
∴bn=n=n,
令f(x)=x,則f′(x)=+xln,
令f′(x)=0,即1+xln=0,解得:x0≈4.95,
則f(x)在(0, x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+單調(diào)遞減.
∴0<f(x)≤max{f(4),f(5),f(6)},
又∵b5=5=,b4=4=﹣,b6=6=﹣,
∴M的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在實數(shù)及、()使得對于任意 都有成立,則稱函數(shù)是帶狀函數(shù);若存在最小值,則稱為帶寬.
(1)判斷函數(shù) 是不是帶狀函數(shù)?如果是,指出帶寬(不用證明);如果不是,請說明理由;
(2)求證:函數(shù)()是帶狀函數(shù);
(3)求證:函數(shù)是帶狀函數(shù)的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在區(qū)間上的值域.
(1)求的值;
(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐的底面ABCD為直角梯形,,,,為正三角形.
Ⅰ點M為棱AB上一點,若平面SDM,,求實數(shù)的值;
Ⅱ若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形”的等價條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標;
(2)已知命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的等價條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)是偶函數(shù)”.斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).
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