【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),滿足a1=1,ak+1﹣ak=ai . (i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1)
(1)求證: ;
(2)若{an}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 求證:

【答案】
(1)證明:∵ak+1﹣ak=ai>0(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),

∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,即1<a2<a3<…<an

又∵ak+1﹣ak=ai≥1(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),

∴ak+1﹣ak≥1(k=1,2,3,…,n﹣1).


(2)解:∵a2﹣a1=a1,∴a2=2a1;

∵{an}是等比數(shù)列,∴數(shù)列{an}的公比為2.

∵ak+1﹣ak=ai(i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1),∴當i=k時有ak+1=2ak

這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列.


(3)證明:∵1=a1=1,2=a2=2, ,…, ,

由上面n個式子相加,得到: ,

化簡得 ,


【解析】(1)利用數(shù)列的單調性即可證明;(2)利用遞推關系、等比數(shù)列的通項公式即可得出;(3)利用“累加求和”與不等式的性質即可得出.

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