【題目】如圖,過拋物線焦點的直線與拋物線交于(其中點在軸的上方)兩點.
(1)若線段的長為3,求到直線的距離;
(2)證明:為鈍角三角形;
(3)已知且,求三角形的面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)
【解析】
(1)先根據(jù)拋物線定義求出點坐標,再根據(jù)點斜式求直線的方程,最后根據(jù)點到直線距離公式求結(jié)果;
(2)先設直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理化簡,根據(jù)為負證明結(jié)果;
(3)先設直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理以及面積公式表示三角形的面積,再根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性求值域.
(1)設,因為,所以,
因此
從而到直線的距離為;
(2)設直線的方程為,
由得
從而,因此為鈍角三角形;
(3)因為,所以,由(2)得,所以
因為,所以,
而在上單調(diào)遞增,所以
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,且,平面平面,,點為線段的中點,點是線段上的一個動點.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)當點是線段上的中點時,求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責成人社部進行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15~65歲的人群中隨機調(diào)查100人,調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下:
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;
(2)從調(diào)查的100人中年齡在15~25,25~35兩組按分層抽樣的方法抽取6人參加某項活動現(xiàn)從這6人中隨機抽2人,求這2人中至少1人的年齡在25~35之間的概率.
參考數(shù)據(jù):
其中n=a+b+c+d
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【題目】某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度,隨機調(diào)查了50名男生和50名女生,每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價,得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計算的觀測值,則可以推斷出( )
滿意 | 不滿意 | |
男 | 30 | 20 |
女 | 40 | 10 |
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
A.該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為
B.調(diào)研結(jié)果顯示,該學校男生比女生對食堂服務更滿意
C.有95%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異
D.有99%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異
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【題目】已知橢圓的離心率e滿足,右頂點為A,上頂點為B,點C(0,-2),過點C作一條與y軸不重合的直線l,直線l交橢圓E于P,Q兩點,直線BP,BQ分別交x軸于點M,N;當直線l經(jīng)過點A時,l的斜率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)證明:為定值.
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【題目】如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點.
(1)證明:平面ABC;
(2)若點M在棱BC上,且,求點C到平面POM的距離.
(3)若點M在棱BC上,且二面角為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.
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【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會,普及冬奧知識,某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生,將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值;
(2)估計這100名學生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)在抽取的100名學生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”,比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.9%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】設為等差數(shù)列的公差,數(shù)列的前項和,滿足(),且,若實數(shù)(,),則稱具有性質(zhì).
(1)請判斷、是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)設為數(shù)列的前項和,若是單調(diào)遞增數(shù)列,求證:對任意的(,),實數(shù)都不具有性質(zhì);
(3)設是數(shù)列的前項和,若對任意的,都具有性質(zhì),求所有滿足條件的的值.
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