【題目】如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點.
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由側(cè)棱垂直于底面,且,得可側(cè)面與底面垂直,從而與側(cè)面垂直,因此有,即有,于是只要證即可有線面垂直,從而證,這個在矩形由相似三角形可得證;
(2)以分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面法向量,有平面法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值(注意確定二面角是銳角還是鈍角).
(1)證明:∵平面
∴四邊形是矩形
∵為中點,且
∴
∵,,
∴,∴
連接 ,
∵,∴與相似
∴,∴
∴
∵,∴平面
∴平面
∵平面,∴
∴平面,∴.
(2)解∶如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
,,,,
∴,,,
設(shè)平面的法向量為,則,
解得:
同理,平面的法向量
設(shè)二面角的大小為,則
即二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強(qiáng)起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最,編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就.裝備方陣堪稱“強(qiáng)軍利刃”“強(qiáng)國之盾”,見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關(guān)注,還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有10位外國人,其中關(guān)注此次大閱兵的有8位,若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪,則被采訪者中至少有2位關(guān)注此次大閱兵的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項的積,即Tn=a1a2…an.
(1)若Tn=n2,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}滿足Tn=(1﹣an)(n∈N*),證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(3)數(shù)列{an}共有100項,且滿足以下條件:
①;
②(1≤k≤99,k∈N*).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)試問符合條件的數(shù)列共有多少個?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點在線段上運動,則 ( )
A.直線平面
B.三棱錐的體積為定值
C.異面直線與所成角的取值范圍是
D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過拋物線焦點的直線與拋物線交于(其中點在軸的上方)兩點.
(1)若線段的長為3,求到直線的距離;
(2)證明:為鈍角三角形;
(3)已知且,求三角形的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在半徑為的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐,它的底面三個頂點恰好都在同一個大圓上,一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動,經(jīng)過其余三點后返回,則經(jīng)過的最短路程是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園草坪上有一扇形小徑(如圖),扇形半徑為,中心角為,甲由扇形中心出發(fā)沿以每秒2米的速度向快走,同時乙從出發(fā),沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,記秒時甲、乙兩人所在位置分別為,,通過計算,判斷下列說法是否正確:
(1)當(dāng)時,函數(shù)取最小值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
(3)若最小,則;
(4)在上至少有兩個零點;
其中正確的判斷序號是______(把你認(rèn)為正確的判斷序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于,兩點.
(1)以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若,點,求的值.
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