【題目】已知定直線,定點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)且與相切.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)橢圓的弦的中點(diǎn)分別為,若平行于,則斜率之和是否為定值? 若是定值請求出該定值;若不是定值請說明理由.

【答案】(1)(2)斜率之和為定值

【解析】試題分析:)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意構(gòu)建關(guān)于的方程組,即可得橢圓方程.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQMN,所以kPQ=kMN=1,

設(shè)直線PQ的方程為y=x+t,代入橢圓方程并化簡得:3x2+4tx+2t26=0利用韋達(dá)定理可計算

試題解析:

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

橢圓過點(diǎn),所以

代入橢圓方程化簡得 ,

因為直線與橢圓相切,所以,

①②可得, ,所以橢圓方程為;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),則有,

由題意可知,所以,設(shè)直線的方程為

代入橢圓方程并化簡得

由題意可知

,

通分后可變形得到

將③式代入分子

,

所以斜率之和為定值.

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