【題目】在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明四邊形為平行四邊形得到答案.

（2）證明平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，.

因?yàn)?/span>，.所以且.

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）取中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面，取中點(diǎn)，連結(jié)，

則.以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

由，則，，，，，

，.平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，由，得.

令，則，.由圖可知，

二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某工藝公司要對某種工藝品深加工，已知每個(gè)工藝品進(jìn)價(jià)為20元，每個(gè)的加工費(fèi)為n元，銷售單價(jià)為x元.根據(jù)市場調(diào)查，須有，，，同時(shí)日銷售量m（單位：個(gè)）與成正比.當(dāng)每個(gè)工藝品的銷售單價(jià)為29元時(shí)，日銷售量為1000個(gè).

（1）寫出日銷售利潤y（單位：元）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每個(gè)工藝品的加工費(fèi)用為5元時(shí)，要使該公司的日銷售利潤為100萬元，試確定銷售單價(jià)x的值.（提示：函數(shù)與的圖象在上有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）

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【題目】2019年以來，我國國內(nèi)非洲豬瘟疫情嚴(yán)重，引發(fā)豬肉價(jià)格上漲.因此，國家為保民生采取宏觀調(diào)控對豬肉價(jià)格進(jìn)行有效地控制.通過市場調(diào)查，得到豬肉價(jià)格在近四個(gè)月的市場平均價(jià)(單位:元/斤)與時(shí)間 (單位:月)的數(shù)據(jù)如下:（ ）

8

9

10

11

28.00

33.99

36.00

34.02

現(xiàn)有三種函數(shù)模型:，，，找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并估計(jì)2019年12月份的豬肉市場平均價(jià)為（ ）

A.28B.25C.23D.21

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【題目】已知函數(shù)，．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

Ⅱ若對任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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【題目】下列命題中正確的是（ ）

A. 若為真命題，則為真命題 B. 若則恒成立

C. 命題“”的否定是“” D. 命題“若則”的逆否命題是“若，則”

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【題目】某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測算，每噴灑1個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.

（Ⅰ）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？

（Ⅱ）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑 個(gè)單位的去污劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值.

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【題目】某校學(xué)生社團(tuán)組織活動(dòng)豐富，學(xué)生會(huì)為了解同學(xué)對社團(tuán)活動(dòng)的滿意程度，隨機(jī)選取了100位同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）現(xiàn)從被調(diào)查的問卷滿意度評分值在[60，80）的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談了解，再從這5人中隨機(jī)抽取2人作主題發(fā)言，求抽取的2人恰在同一組的概率．

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A. 2＋ B. 2＋ C. 2＋ D. 2＋

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【題目】已知定直線，定點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)且與相切.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）橢圓的弦的中點(diǎn)分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由.

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