(2007•浦東新區(qū)二模)記函數(shù)f(x)=f1(x),f(f(x))=f2(x),它們定義域的交集為D,若對(duì)任意的x∈D,f2(x)=x,則稱f(x)是集合M的元素.
(1)判斷函數(shù)f(x)=-x+1,g(x)=2x-1是否是M的元素;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(1-2x),求f(x)的反函數(shù)f-1(x),并判斷f(x)是否是M的元素;
(3)f(x)=
axx+b
∈M(a<0),求使f(x)<1成立的x的范圍.
分析:(1)利用新定義,求出f[f(x)]、g[g(x)],即可得到結(jié)論;
(2)利用新定義,求出f[f(x)]=x,即可說明不論a為何值,f(x)都是集合M的元素;
(3)利用新定義,確定a,b的關(guān)系,進(jìn)而可解不等式.
解答:(1)解:∵f[f(x)]=-(-x+1)+1=x,∴f(x)=-x+1∈M…(2分)
∵g[g(x)]=2(2x-1)-1=4x-3,∴g(x)=2x-1∉M…(4分)
(2)證明:f[f(x)]=log2(a-2log2(a-2x))=log(a-a+2x)=x
所以不論a為何值,f(x)都是集合M的元素       …(7分)
(3)解:∵f(x)=
ax
x+b
∈M,(a<0)
,∴f2(x)=f[f(x)]=x對(duì)定義域內(nèi)的一切x恒成立
a•
ax
x+b
ax
x+b
+b
=x
,解得(a+b)x2-(a2-b2)x=0對(duì)定義域內(nèi)的一切x恒成立   …(9分)
∴a+b=0…(10分)
由f(x)<1,得到
ax
x-a
-1<0
,∴
(a-1)x+a
x-a
<0
…(11分)
由a<0,∴
x-
a
1-a
x-a
>0

0>
a
1-a
>a
…(12分)
∴x的取值范圍是x>
a
1-a
或x<a…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義,考查不等式的解法,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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1
3
,2}
,則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且在(-∞,0)上單調(diào)遞增的α值為
1
3
1
3

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2
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年.

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