Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，過點的直線交拋物線于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為3時，

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若直線，且和拋物線有且只有一個公共點，試問直線（為拋物線上異于原點的任意一點）是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據拋物線定義可利用構造關于的方程，從而求得拋物線方程；（Ⅱ）設，，根據可求得，從而得到，假設方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用可求得，從而利用表示出點坐標；分別在和兩種情況下得到直線方程，從而得到所過定點.

（Ⅰ）由題意知：

由拋物線的定義知：，解得：

拋物線的方程為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

設，

由得：，故 直線的斜率為

直線和直線平行

可設直線的方程為，代入拋物線方程得：

由題意知：得：

設，則，

當時，

可得直線的方程為：，

由，整理可得： 直線恒過點

當時，直線的方程為：，過點

直線恒過定點