Question

【題目】如圖，在中，，，分別是的中點(diǎn)．將沿折成大小是的二面角．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，由二面角為得出，通過運(yùn)用線面垂直的判定得出平面，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系和勾股定理的逆定理得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，最后利用面面垂直的判定定理，即可證出平面平面；

（Ⅱ）根據(jù)條件得出四邊形為矩形，得出，從而將求與平面所成的角轉(zhuǎn)化成求與平面所成的角，由線面垂直求出到平面距離，最后利用幾何法即可求出結(jié)果.

解：（Ⅰ）由題可知，中，，，

不妨設(shè)，

已知將沿折成大小是的二面角，

而，，

則可得： ，平面，

所以在中，， ，

則為等邊三角形，得，

由于分別是的中點(diǎn)，則，

所以平面，平面，

于是，所以，

取的中點(diǎn)，連，

則，，

取的中點(diǎn)，連接，則，

則，，

易得：，

在中，，

則，所以，即，

在中，，則，

又，所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）由于為的中點(diǎn)，則，

又且，

可得：四邊形為矩形，

所以與平面所成的角就是與平面所成的角，設(shè)為，

由于平面，為的中點(diǎn)，

所以到平面距離是：，

而，

可得與平面所成角的正弦值為：，

所以與平面所成角的正弦值.