Question

【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn)(為非零常數(shù))與軸不垂直的直線與C交于兩點(diǎn).

(1)求證:(是坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2)AB的垂直平分線與軸交于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,求證:直線BD過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) ；(3) 過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.

【解析】

(1)因?yàn)?/span>，所以聯(lián)立直線和曲線方程，得到的表達(dá)式，代入計(jì)算即可證明結(jié)果. (2)首先根據(jù)第一問(wèn)的計(jì)算過(guò)程求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而設(shè)出AB的垂直平分線：，令，求出的表達(dá)式，根據(jù)第一問(wèn)中求出的關(guān)系，代入求解的范圍即可. (3)首先根據(jù)對(duì)稱關(guān)系設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線BD的方程，根據(jù)第一問(wèn)的計(jì)算過(guò)程化簡(jiǎn)直線方程，從而求出直線所過(guò)的定點(diǎn).

(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立曲線方程得：

所以.

(2) 設(shè)兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

.則，即AB的垂直平分線為，

令，解得.又，即，所以.

所以的取值范圍為.

(3) A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則，則直線BD：，整理得：.

又=.

所以直線BD為：=，所以恒過(guò)定點(diǎn).得證.