Question

如圖1，橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的下頂點(diǎn)為C，A，B分別在橢圓的第一象限和第二象限的弧上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足

OA

⊥

OB

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成直二面角．如圖2所示，在空間中，解答下列問(wèn)題：
（1）證明：OC⊥AB；
（2）設(shè)二面角O-BC-A的平面角為α，二面角O-AC-B的平面角為β，二面角O-AB-C的平面角為θ，求證：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱錐O-ABC的體積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，沿x軸將坐標(biāo)平面折成直二面角后，OC⊥x軸，且OC⊥y軸，所以O(shè)C⊥面AOB，由此能夠證明OC⊥AB．
（2）由

OA

⊥

OB

，OA⊥OB，設(shè)直線OA方程為y=kx，OB的方程為y=-

x

k

，解方程組

x2 9 + y2 4 =1 y=kx

，得A（

6

4+9k2

，

6k

4+9k2

），解方程組

x2 9 + x2 4 =1 y=- x k

，得B（-

6k

9+4k2

，

6

9+4k2

），OA=

6 1+k 2

4+9k2

，OB=

6 1+k2

9+4k2

，OC=2，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法能夠證明cos²α+cos²β+cos²θ=1．
（3）由OC⊥面OAB，知三棱錐O-ABC的高OC=2，底面積S=S_△0AB=

1

2

×

6 1+k2

4+9k2

× 

6 1+k2

9+4k2

=

18(1+k2)

(4+9k2)(9+4k2)

≥3，由此能求出三棱錐O-ABC的體積的最小值．

解答：（1）證明：由題設(shè)知，沿x軸將坐標(biāo)平面折成直二面角后，
∵OC⊥x軸，且OC⊥y軸，
∴OC⊥面AOB，
∵AB?面AOB，
∴OC⊥AB．
（2）證明：∵

OA

⊥

OB

，∴OA⊥OB，
∴設(shè)直線OA方程為y=kx，OB的方程為y=-

x

k

，
解方程組

x2 9 + y2 4 =1 y=kx

，得A（

6

4+9k2

，

6k

4+9k2

），（舍去x＜0的解）
解方程組

x2 9 + x2 4 =1 y=- x k

，得B（-

6k

9+4k2

，

6

9+4k2

），（舍去x＞0的解）
∵O（0，0），
∴OA=

6 1+k 2

4+9k2

，OB=

6 1+k2

9+4k2

，OC=2，
∵OC⊥面AOB，OA⊥OB，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

6 1+k2

4+9k2

，0，0），B（0，

6 1+k2

4+9k2

，0），C（0，0，2），
∴

CA

=(

6 1+k2

4+9k2

，0，-2)，

CB

=(0，

6 1+k2

9+4k2

，0)，
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，則有

6 1+k2 4+9k2 x-2z=0 6 1+k2 4+9k2 y-2z=0

，
∴

n

=(1，

9+4k2

4+9k2

，0)，
∵平面OBC的法向量

n1

=(1，0，0)，
∴cosα=cos＜

n

，

n1

＞=

1

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∵平面OAC的法向量

n2

=(0，1，0)，
∴cosβ=

9+4k2 4+9k2

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∵平面OAB的法向量

n3

=(0，0，1)，
∴cosθ=

0

1+ 9+4k2 4+9k2

，
∴cos²α+cos²β+cos²θ=

1

1+ 9+4k2 4+9k2

+

9+4k2 4+9k2

1+ 9+4k2 4+9k2

=1．
（3）解：∵OC⊥面OAB，
∴三棱錐O-ABC的高OC=2，
底面積S=S_△0AB=

1

2

×

6 1+k2

4+9k2

× 

6 1+k2

9+4k2

=

18(1+k2)

(4+9k2)(9+4k2)

≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，取最小值．
∴三棱錐O-ABC的體積的最小值Vmin=

1

3

×3×2=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度大，綜合性強(qiáng)，易出錯(cuò)．解題時(shí)巧妙地引空間直角坐標(biāo)系，恰當(dāng)?shù)乩�用空間向量進(jìn)行求解，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算．