Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其中，.

（1）若，判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求正數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)，時(shí)，證明：對(duì)于，有.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見解析

【解析】

（1）由題意求導(dǎo)后，按照、分類，解出、的解集即可得解；

（2）對(duì)求導(dǎo)，令，求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞減，按照、，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理即可得解；

（3）令，求導(dǎo)后可得對(duì)，恒有，依次取，求和即可得證.

（1）時(shí)，，，

則，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，，（舍），

令，，，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

（2）由題意，則，

令，，

∴在上單調(diào)遞減，∴，

①若，則即，即在上單調(diào)遞減，

∴，∴，不合題意；

②若，則，，

∴根椐零點(diǎn)存在性定理，使得，

即，使得，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，

∴，函數(shù)無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，

其中，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，

∴，

∴，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得時(shí)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

綜上：；

（3）當(dāng)時(shí)，令，則

當(dāng)時(shí)，恒有，即在上單調(diào)遞減，

∴對(duì)恒成立.

又，，故，

即對(duì)，恒有，

在此不等式中依次取，得：

，，，

，，

將以上不等式相加得：，即.