【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）當(dāng)時，求得，，結(jié)合和的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性，進而作出證明；

（2）先求得是的一個零點，由，，

分類、和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在定理，即可求解.

（1）當(dāng)時，，則，

可得，

當(dāng)時，可得，所以，

所以在單調(diào)遞減，所以；

當(dāng)時，，所以，

所以在單調(diào)遞增，所以，

所以在單調(diào)遞增，，

綜上可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（2）當(dāng)時，，所以是的一個零點，

由，，

（i）當(dāng)時，由（1）知僅有一個零點；

（ii）當(dāng)時，

①當(dāng)時，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，，

所以當(dāng)時，無零點，

②當(dāng)時，，在（單調(diào)遞增，

因為，

，

所以在上存在唯一，使得，

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，

有，所以在無零點.

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，

又，

設(shè)（），，，

所以在遞增，有，

所以在遞增，有，即，

因此，在有1個零點，

所以當(dāng)時，有2個零點.

（iii）當(dāng)時，

①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，

所以，在單調(diào)遞增，，

所以在無零點

②當(dāng)時，，有，

所以在無零點

③當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，

又，，所以在有1個零點，

所以當(dāng)時，有2個零點.

綜上所述，當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為，其中，.

（1）若，判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，求正數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)，時，證明：對于，有.

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【題目】已知函數(shù)是有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）如果函數(shù)的值域為，求b的值；

（2）研究函數(shù)（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值．（可利用你的研究結(jié)論）

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【題目】中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.中國茶的發(fā)現(xiàn)和利用已有四千七百多年的歷史，且長盛不衰，傳遍全球.為了弘揚中國茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量克與食客的滿意率的關(guān)系，通過試驗調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)可選擇函數(shù)模型來擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下數(shù)據(jù)：

茶葉量克

1

2

3

4

5

4.34

4.36

4.44

4.45

4.51

可求得y關(guān)于x的回歸方程為（ ）

A.B.

C.D.

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茶葉量克

1

2

3

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5

4.34

4.36

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【題目】端午節(jié)是我國民間為紀念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機問卷調(diào)查了該市1000名消費者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費者粽子購買量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬名消費者，請估計該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準備多少千克棕子才能滿足市場需求（以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的購買量）.

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【題目】已知拋物線（）上的兩個動點和，焦點為F.線段AB的中點為，且A，B兩點到拋物線的焦點F的距離之和為8.


（1）求拋物線的標準方程；

（2）若線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，求面積的最大值.

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【題目】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球和2個白球，乙袋裝有2個紅球和n個白球．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個球．

（1）若，求取到的4個球全是紅球的概率；

（2）若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n．

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【題目】2020年4月8日零時正式解除離漢通道管控，這標志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態(tài)下，武漢市有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，嚴密防范、慎終如始.為科學(xué)合理地做好小區(qū)管理工作，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市的實際需要，某小區(qū)物業(yè)提供了A，B兩種小區(qū)管理方案，為了決定選取哪種方案為小區(qū)的最終管理方案，隨機選取了4名物業(yè)人員進行投票，物業(yè)人員投票的規(guī)則如下：①單獨投給A方案，則A方案得1分，B方案得﹣1分；②單獨投給B方案，則B方案得1分，A方案得﹣1分；③棄權(quán)或同時投票給A，B方案，則兩種方案均得0分.前1名物業(yè)人員的投票結(jié)束，再安排下1名物業(yè)人員投票，當(dāng)其中一種方案比另一種方案多4分或4名物業(yè)人員均已投票時，就停止投票，最后選取得分多的方案為小區(qū)的最終管理方案.假設(shè)A，B兩種方案獲得每1名物業(yè)人員投票的概率分別為和.

（1）在第1名物業(yè)人員投票結(jié)束后，A方案的得分記為ξ，求ξ的分布列；

（2）求最終選取A方案為小區(qū)管理方案的概率.

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