【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2﹣a),a∈R.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣3,0)上單調遞減,試求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的最小值為﹣2e,試求a的值.

【答案】
(1)解:由題意可知f'(x)=ex(x2+2x﹣a).

因為a=1,則f(0)=﹣1,f'(0)=﹣1,

所以函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y﹣(﹣1)=﹣(x﹣0).

即x+y+1=0.


(2)解:因為函數(shù)f(x)在(﹣3,0)上單調遞減,

所以當x∈(﹣3,0)時,f'(x)=ex(x2+2x﹣a)≤0恒成立.

即當x∈(﹣3,0)時,x2+2x﹣a≤0恒成立.

顯然,當x∈(﹣3,﹣1)時,函數(shù)g(x)=x2+2x﹣a單調遞減,

當x∈(﹣1,0)時,函數(shù)g(x)=x2+2x﹣a單調遞增.

所以要使得“當x∈(﹣3,0)時,x2+2x﹣a≤0恒成立”,

等價于 所以a≥3.


(3)解:設g(x)=x2+2x﹣a,則△=4+4a.

①當△=4+4a≤0,即a≤﹣1時,g(x)≥0,所以f'(x)≥0.

所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)單增,所以函數(shù)f(x)沒有最小值.

②當△=4+4a>0,即a>﹣1時,令f'(x)=ex(x2+2x﹣a)=0得x2+2x﹣a=0,

解得

隨著x變化時,f(x)和f'(x)的變化情況如下:

x

f'(x)

+

0

0

+

f(x)

極大值

極小值

當x∈ 時,

所以

所以f(x)=ex(x2﹣a)>0.

又因為函數(shù)f(x)的最小值為﹣2e<0,

所以函數(shù)f(x)的最小值只能在 處取得.

所以

所以

易得

解得a=3.

以下證明解的唯一性,僅供參考:

因為a>0,所以

,則

設h(x)=﹣xex,則h'(x)=﹣ex(x+1).

當x>0時,h'(x)<0,從而易知g(a)為減函數(shù).

當a∈(0,3),g(a)>0;當a∈(3,+∞),g(a)<0.

所以方程 只有唯一解a=3


【解析】(1)利用導數(shù)求出x=0處的切線斜率,根據(jù)點斜式寫出切線方程;(2)函數(shù)f(x)在(﹣3,0)上單調遞減,即當x∈(﹣3,0)時,x2+2x﹣a≤0恒成立.要使得“當x∈(﹣3,0)時,x2+2x﹣a≤0恒成立”,等價于 所以a≥3.(3)根據(jù)函數(shù)的單調性,得出函數(shù)f(x)的最小值只能在 處取得.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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