Question

【題目】已知函數(shù)f0(x)＝ (x>0)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

(1)求2f1＋f2的值；

(2)證明：對(duì)任意的n∈N*，等式＝都成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由于求兩個(gè)函數(shù)的相除的導(dǎo)數(shù)比較麻煩，根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為：xf0（x）=sinx，然后兩邊求導(dǎo)后根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；

（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再對(duì)所得的式子兩邊再求導(dǎo)，并利用誘導(dǎo)公式對(duì)所得式子進(jìn)行化簡(jiǎn)、歸納，再進(jìn)行猜想得到等式，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立，主要利用假設(shè)的條件、誘導(dǎo)公式、求導(dǎo)公式以及題意進(jìn)行證明，最后再把x=代入所給的式子求解驗(yàn)證．

解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝，

于是f2(x)＝f1′(x)＝=，

所以，．

故=－1.

(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，

即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝.

類(lèi)似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝對(duì)所有的n∈N*都成立．

(i)當(dāng)n＝1時(shí)，由上可知等式成立．

(ii)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝.

因?yàn)閇kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

,

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝，

因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．

綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝對(duì)所有的n∈N*都成立．

令x＝ ，可得

所以