【題目】如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點D在線段AC上,DE⊥AB于E,現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖(2)).
(1)求證:PB⊥DE;
(2)若PE⊥BE,PE=1,求點B到平面PEC的距離.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行證明,(2)由(1)知PE⊥平面BEDC,在△EDC中,由余弦定理得EC=,S△PEC=×PE×EC=.利用等體積法VP-BEC=VB-PEC進行求解即可得點B到平面PEC的距離.
試題解析:
(1)∵DE⊥AB,∴DE⊥PE,DE⊥EB.
又∵PE∩BE=E,∴DE⊥平面PEB.∵PB平面PEB,∴PB⊥DE.
(2)由(1)知DE⊥PE,且PE⊥BE,DE∩BE=E,∴PE⊥平面BEDC.
連接EC,∵PE=1,
∴DE=PE=1,AD=DC=.
在△EDC中,∠EDC=135°,由余弦定理得
EC2=DE2+DC2-2DE×DC×cos∠EDC=1+2-2×(-)=5,
∴EC=,∴S△PEC=×PE×EC=.
設(shè)點B到平面PEC的距離為h,則由VP-BEC=VB-PEC得S△PEC·h=S△BEC·PE,
∴h=×3×2×1,∴h=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為米,圓心角為(弧度)的扇形觀景水池,其中, 為扇形的圓心,同時緊貼水池周邊(即: 和所對的圓弧)建設(shè)一圈理想的無寬度步道.要求總預(yù)算費用不超過24萬元,水池造價為每平方米400元,步道造價為每米1000元.
(1)若總費用恰好為24萬元,則當和分別為多少時,可使得水池面積最大,并求出最大面積;
(2)若要求步道長為105米,則可設(shè)計出的水池最大面積是多少?
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【題目】已知曲線的方程為(, 為常數(shù)).
(1)判斷曲線的形狀;
(2)設(shè)曲線分別與軸, 軸交于點, (, 不同于原點),試判斷的面積是否為定值?并證明你的判斷;
(3)設(shè)直線: 與曲線交于不同的兩點, ,且,求的值.
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【題目】祖暅原理也就是“等積原理”,它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的,祖暅原理的內(nèi)容是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的平面所截,如果截得兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.已知,兩個平行平面間有三個幾何體,分別是三棱錐、四棱錐、圓錐(高度都為),其中:三棱錐的底面是正三角形(邊長為),四棱錐的底面是有一個角為的菱形(邊長為),圓錐的體積為,現(xiàn)用平行于這兩個平行平面的平面去截三個幾何體,如果截得的三個截面的面積相等,那么,下列關(guān)系式正確的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=-f′(0)ex+2x,點P為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線l上的一點,點Q在曲線y=ex上,則|PQ|的最小值為________.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx++2ax.
(1)當a<0時,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的a∈(-3,-2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln 3)a-2ln 3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】為了解學(xué)生的身體狀況,某校隨機抽取了一批學(xué)生測量體重,經(jīng)統(tǒng)計,這批學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位:千克)全部介于至之間,將數(shù)據(jù)分成以下組,第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第、、組中隨機抽取名學(xué)生做初檢.
(Ⅰ)求每組抽取的學(xué)生人數(shù).
(Ⅱ)若從名學(xué)生中再次隨機抽取名學(xué)生進行復(fù)檢,求這名學(xué)生不在同一組的概率.
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【題目】某互聯(lián)網(wǎng)理財平臺為增加平臺活躍度決定舉行邀請好友拿獎勵活動,規(guī)則是每邀請一位好友在該平臺注冊,并購買至少1萬元的12月定期,邀請人可獲得現(xiàn)金及紅包獎勵,現(xiàn)金獎勵為被邀請人理財金額的,且每邀請一位最高現(xiàn)金獎勵為300元,紅包獎勵為每邀請一位獎勵50元.假設(shè)甲邀請到乙、丙兩人,且乙、丙兩人同意在該平臺注冊,并進行理財,乙、丙兩人分別購買1萬元、2萬元、3萬元的12月定期的概率如下表:
理財金額 | 萬元 | 萬元 | 萬元 |
乙理財相應(yīng)金額的概率 | |||
丙理財相應(yīng)金額的概率 |
(1)求乙、丙理財金額之和不少于5萬元的概率;
(2)若甲獲得獎勵為元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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