【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)解析式；

（2）試確定登陸點(diǎn)P的位置，使所用時(shí)間最少，并說(shuō)明理由．

【答案】（1），定義域?yàn)?/span>（2）17.68

【解析】

試題分析：（1）由輪船航行的方位角為，可得，，由直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可得，，所以，則由經(jīng)到 所用時(shí)間與的函數(shù)關(guān)系為，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其中銳角的正切值為；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得在上遞減，在上遞增，（），所以可得時(shí)函數(shù)取得最小值，此時(shí) ≈17.68.

試題解析：（1）由題意，輪船航行的方位角為θ，所以，，則，．． 由A到P所用的時(shí)間為，由P到C所用的時(shí)間為，所以由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與θ的函數(shù)關(guān)系為．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其中銳角的正切值為.

（2）由（1），，，，令，解得，設(shè)θ0，使

θ0

0

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)f(θ)取得最小值，此時(shí)BP=≈17.68，

答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點(diǎn)，所用時(shí)間最少．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)，求的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)電商已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的消費(fèi)方式為了更好地服務(wù)民眾，某電商在其官方APP中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對(duì)商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià)現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)抽出200條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意

合計(jì)

對(duì)商品狀況好評(píng)

100

20

120

對(duì)商品狀況不滿意

50

30

80

合計(jì)

150

50

200

（I）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系？

（Ⅱ）為了回饋用戶，公司通過(guò)APP向用戶隨機(jī)派送每張面額為0元，1元，2元的三種優(yōu)惠券用戶每次使用APP購(gòu)物后，都可獲得一張優(yōu)惠券，且購(gòu)物一次獲得1元優(yōu)惠券，2元優(yōu)惠券的概率分別是，，各次獲取優(yōu)惠券的結(jié)果相互獨(dú)立若某用戶一天使用了APP購(gòu)物兩次，記該用戶當(dāng)天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)

P（K2≥k）

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：K2，其中n＝a+b+c+d

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公園欲將一塊空地規(guī)劃成如圖所示的區(qū)域，其中在邊長(zhǎng)為20米的正方形內(nèi)種植經(jīng)紅色郁金香，在正方形的剩余部分（即四個(gè)直角三角形內(nèi)）種植黃色郁金香．現(xiàn)要在以為邊長(zhǎng)的矩形內(nèi)種植綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積．設(shè)，米．

（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，已知E，F，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面ABHG；

（2）求證：平面ABHG⊥平面CFED．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】網(wǎng)絡(luò)游戲要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，必須要發(fā)展綠色網(wǎng)游.為此，國(guó)家文化部將從內(nèi)容上對(duì)網(wǎng)游作出強(qiáng)制規(guī)定，國(guó)家信息產(chǎn)業(yè)部還將從技術(shù)上加強(qiáng)對(duì)網(wǎng)游的強(qiáng)制限制，開(kāi)發(fā)限制網(wǎng)癮的疲勞系統(tǒng)，現(xiàn)已開(kāi)發(fā)的“游戲防沉迷系統(tǒng)”規(guī)則如下：

①小時(shí)以內(nèi)（含小時(shí)）為健康時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值（單位：）與游戲時(shí)間（小時(shí)）滿足關(guān)系式：（為常數(shù)）；

②小時(shí)到小時(shí)（含小時(shí)）為疲勞時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為（即累積經(jīng)驗(yàn)值不變）；

③超過(guò)小時(shí)為不健康時(shí)間，累積經(jīng)驗(yàn)值開(kāi)始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時(shí)間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出累積經(jīng)驗(yàn)值與游戲時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并求出游戲小時(shí)的累積經(jīng)驗(yàn)值；

（2）定義“玩家愉悅指數(shù)”為累積經(jīng)驗(yàn)值與游戲時(shí)間的比值，記作；若，開(kāi)發(fā)部門(mén)希望在健康時(shí)間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從甲乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué),如圖所示的莖葉圖記錄了這20名同學(xué)在2018年高考語(yǔ)文作文題目中的成績(jī)(單位:分).已知語(yǔ)文作文題目滿分為60分,“分?jǐn)?shù)分,為及格:分?jǐn)?shù)分,為高分”,若甲乙兩班的成績(jī)的平均分都是44分.

(1)求,的值;

(2)若分別從甲乙兩班隨機(jī)各抽取1名成績(jī)?yōu)楦叻值膶W(xué)生,求抽到的學(xué)生中,甲班學(xué)生成績(jī)高于乙班學(xué)生成績(jī)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合，對(duì)于的一個(gè)子集，若存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)中的任意一對(duì)元素、，都有，則稱具有性質(zhì).

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)時(shí)，若集合具有性質(zhì).

①那么集合是否一定具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；

②求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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