Question

【題目】已知集合，對于的一個子集，若存在不大于的正整數(shù)，使得對中的任意一對元素、，都有，則稱具有性質(zhì).

（1）當時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由；

（2）當時，若集合具有性質(zhì).

①那么集合是否一定具有性質(zhì)？并說明理由；

②求集合中元素個數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析；（2）①具有性質(zhì)，理由見解析；②.

【解析】

（1）當時，集合，，根據(jù)性質(zhì)的定義可知其不具有性質(zhì)；，令，利用性質(zhì)的定義即可驗證；

（2）當，則.

①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗證即可說明集合具有性質(zhì)；

②設集合有個元素，由①可知，任給，，則與中必有個不超過，從而得到集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過，然后利用性質(zhì)的定義進行分析即可求得，即，解此不等式得.

（1）當時，集合，不具有性質(zhì).

因為對任意不大于的正整數(shù)，

都可以找到該集合中的兩個元素與，使得成立.

集合具有性質(zhì).

因為可取，對于該集合中任一元素，，、.

都有；

（2）當時，則.

①若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).

首先因為，任取，其中.

因為，所以.

從而，即，所以.

由具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，

使得對中的任意一對元素、，都有.

對于上述正整數(shù)，從集合中任取一對元素，，其中、，則有.

所以，集合具有性質(zhì)；

②設集合有個元素，由①可知，若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).

任給，，則與中必有一個不超過.

所以集合與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過.

不妨設中有個元素、、、不超過.

由集合具有性質(zhì)，可知存在正整數(shù).

使得對中任意兩個元素、，都有.

所以一定有、、、.

又，故、、、.

即集合中至少有個元素不在子集中，

因此，所以，得.

當時，取，則易知對集合中的任意兩個元素、，都有，即集合具有性質(zhì).

而此時集合中有個元素，因此，集合元素個數(shù)的最大值為.