Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的值；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，試求與的值；

（3）當(dāng)時(shí)，記，如果對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)、、，都存在以、、為邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）20；（2），；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解．

（3）問題轉(zhuǎn)化為2ymin＞ymax，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論求解即可．

（1）若f（x1x2）＝10，

則lognx1x2＝10，

則f（x12）+f（x22）＝lognx12+lognx22＝lognx12x22＝logn（x1x2）2＝2lognx1x2＝20．

（2）g（x）＝f（）＝lognlogn（）＝logn（1），

則y＝1在（1，+∞）上為減函數(shù)，

∵當(dāng)x∈（m，n）時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?/span>1，+∞），

∴m＝1，n＞1，

則函數(shù)g（x）在（m，n）上為減函數(shù)，

則g（n）＝1，即logn（1）＝1，得1n，即n﹣1，

得（n﹣1）2＝2，解得n﹣1＝±，則n＝1或n＝1（舍）．

（3）當(dāng)n＝3時(shí)，記h（x）＝f﹣1（x）3x，（m＞0），

∵﹣1≤x≤0，∴設(shè)t＝3x，則t≤1，

即y＝t，（t≤1），由題意得在t≤1上恒有2ymin＞ymax即可．

①當(dāng)0＜m時(shí)，函數(shù)h（x）在[，1]上遞增，

ymax＝1+m，ymin＝3m．

由2ymin＞ymax得6m1+m，即5m，得m．此時(shí)．

②當(dāng)時(shí)，h（x）在[，]上遞減，在[，1]上遞增，

ymax＝max{3m，1+m}＝1+m，ymax＝1+m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得41+m，得．此時(shí)．

③當(dāng)m＜1時(shí)，h（x）在[，]上遞減，在[，1]上遞增，

ymax＝max{3m，1+m}＝3m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得43m，得．此時(shí)m＜1

④當(dāng)m≥1時(shí)，h（x）在[，1]上遞減，

ymax＝3m，ymin＝m+1，

由2ymin＞ymax得2m+2＞3m，得m．此時(shí)1≤m，

綜上．