Question

【題目】已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，點(diǎn)在該橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可得， 所以 ，則橢圓的方程為

（2）將代入橢圓方程可得，解得 ，則 ，由題可知直線與直線的斜率互為相反數(shù)，寫出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立整理可得。

（1）因?yàn)闄E圓的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，

所以設(shè)橢圓方程為

因?yàn)榻咕酁?/span>，

所以 ，焦點(diǎn)坐標(biāo) ，

又因?yàn)辄c(diǎn)在該橢圓上，代入橢圓方程得

所以 ，即

解得

所以

則橢圓的方程為.

（2）將代入橢圓方程可得，解得

則

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，則直線與直線的斜率互為相反數(shù)，

不妨設(shè)，則，

所以直線的方程為，

聯(lián)立 ，解得

因?yàn)?/span>是該方程的兩根，

所以，即，

同理直線的方程為且

所以

所以 ，

即直線的斜率為定值。