【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立,為其前n項(xiàng)的和,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)數(shù)列滿足,其中.
①證明:數(shù)列為等比數(shù)列;
②求集合
【答案】(1);(2)①過程見詳解;②.
【解析】
(1)先由題意,得到數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,根據(jù)題中條件,求出首項(xiàng)與公差,進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式;
(2)①根據(jù)(1)的結(jié)果,將化為,得到(),兩式作差整理,得到,進(jìn)而可求出,判斷出結(jié)果;
②先由得到,即,判斷出,得到,設(shè),得到,分別研究對(duì)應(yīng)的情況,再由導(dǎo)數(shù)的方法證明當(dāng),時(shí), ,即可得出結(jié)果.
(1)因?yàn)閿?shù)列滿足對(duì)任意的恒成立,
所以數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,
因?yàn)?/span>,,所以,解得:,
因此;
(2)①因?yàn)閿?shù)列滿足,
,
所以(),
兩式作差可得:(),
又也滿足上式,所以,
記數(shù)列的前項(xiàng)和為,
則,
當(dāng)時(shí),,兩式作差可得:,
所以,
即,
所以,因此,即數(shù)列為等比數(shù)列;
②由得,即,
記,由①得,所以,因此(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).
由得,所以.
設(shè),由得,即;
當(dāng)時(shí),,不符合題意;
當(dāng)時(shí),,此時(shí)符合題意;
當(dāng)時(shí),,不符合題意;
當(dāng)時(shí),,不符合題意,
下面證明當(dāng),時(shí), ,
不妨設(shè),
則在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增;
所以,
所以,當(dāng),時(shí), 恒成立,不符合題意;
綜上,集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,、分別為、的中點(diǎn),,,.
⑴求證:平面;
⑵求二面角的正弦值;
⑶已知為棱上的點(diǎn),若,求線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是,點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點(diǎn),且與橢圓交于,兩點(diǎn),求的面積的最大值及此時(shí)內(nèi)切圓半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)若的面積,求a+c值;
(2)若2cosC(+)=c2,求角C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的取值范圍;
(3)若,從數(shù)列中抽出部分項(xiàng)(奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均不少于兩項(xiàng)),將抽出的項(xiàng)按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)最大時(shí),求所有滿足條件的等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為,點(diǎn)在該橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)位于第一象限,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足,問直線的斜率是否為定值,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古印度“漢諾塔問題”:一塊黃銅平板上裝著三根金銅石細(xì)柱,其中細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤,大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上,移動(dòng)規(guī)則如下:一次只能將一個(gè)金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上,不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若柱上現(xiàn)有個(gè)金盤(如圖),將柱上的金盤全部移到柱上,至少需要移動(dòng)次數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知f(x)是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意的x∈都有,則方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)情況;
(2)當(dāng)時(shí),記在上的最小值為m,求證:.
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