【題目】某公園為了美化環(huán)境和方便顧客,計(jì)劃建造一座圓弧形拱橋,已知該橋的剖面如圖所示,共包括圓弧形橋面和兩條長度相等的直線型路面、,橋面跨度的長不超過米,拱橋所在圓的半徑為米,圓心在水面上,且所在直線與圓分別在連結(jié)點(diǎn)處相切.設(shè),已知直線型橋面每米修建費(fèi)用是元,弧形橋面每米修建費(fèi)用是.

1)若橋面(線段、和弧)的修建總費(fèi)用為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

2)當(dāng)為何值時(shí),橋面修建總費(fèi)用最低?

【答案】(1),.(2)

【解析】

1)設(shè)為弧的中點(diǎn),連結(jié),,通過解直角三角形以及弧長公式,求得的長,由此計(jì)算出修建總費(fèi)用的表達(dá)式,根據(jù)長度的限制,和圓的直徑,求得的取值范圍.

2)利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得當(dāng)為何值時(shí),取得最小值.

1)設(shè)為弧的中點(diǎn),連結(jié),,,則

中,.

又因?yàn)?/span>,所以弧長為,

所以

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以

所以,.

2)設(shè),則,令

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,此時(shí)橋面修建總費(fèi)用最低.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動(dòng)成本C(x)萬元,當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時(shí),C(x)=x2+2x(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時(shí),C(x)=6x+1nx+﹣17(萬元).已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,假若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)M當(dāng)年全部售完.

(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收人﹣固定成本﹣流動(dòng)成本

(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時(shí),該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(取e3≈20)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若對(duì)任意的,都有恒成立,求的最小值;

2)設(shè),若為曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn),滿足,且,使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓,是它的上頂點(diǎn),點(diǎn)各不相同且均在橢圓上.

1)若恰為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),求的面積;

2)若,求證:直線過一定點(diǎn);

3)若的外接圓半徑為,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是實(shí)數(shù)常數(shù))的圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)是,與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是.

(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在中,角所對(duì)的邊分別為,且,角的取值范圍是區(qū)間。當(dāng)時(shí),試求函數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),

1)討論的單調(diào)性;

2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將邊長為的正方形沿對(duì)角線折疊,使得平面平面,平面,的中點(diǎn),且

(1)求證:

(2)求二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若關(guān)于x的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)若是函數(shù)的極大值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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