Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為，且與交單的橫坐標(biāo)為.

（1）求曲線的普通方程.

（2）設(shè)為曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，為曲線上不同于的任意一點(diǎn)，若直線與分別與交于兩點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由消參后可得含參的普通方程，把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，由兩曲線相交的交點(diǎn)橫坐標(biāo)求得，從而所求方程；

（2）不妨設(shè)為橢圓上頂點(diǎn)即，用參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出的橫坐標(biāo)，計(jì)算即得．

（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，可知它們的交點(diǎn)為，代入曲線的普通方程可求得，所以曲線的普通方程為.

（2）由（1）可知曲線為橢圓，不妨設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，則的坐標(biāo)為.則，

設(shè)，，，因此直線與分別與軸交于兩點(diǎn)，

∴，，即，，∴，，

∴，因此為定值4.