【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[﹣1,1],a+b≠0時,有 成立.
(1)判斷f(x)在[﹣1,1]上的單調(diào)性,并證明它;
(2)解不等式f(x2)<f(2x);
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)是[﹣1,1]上的增函數(shù).
理由:任取x1、x2∈[﹣1,1],且x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)
∵ >0,
即 >0,
∵x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0.
則f(x)是[﹣1,1]上的增函數(shù).
(2)解:由(1)可得f(x)在[﹣1,1]遞增,
可得不等式f(x2)<f(2x),即為
即
解得0<x≤ ,則解集為(0, ];
(3)解:要使f(x)≤m2﹣2am+1對所有的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
只須f(x)max≤m2﹣2am+1,即1≤m2﹣2am+1對任意的a∈[﹣1,1]恒成立,
亦即m2﹣2am≥0對任意的a∈[﹣1,1]恒成立.令g(a)=﹣2ma+m2,
只須 ,
解得m≤﹣2或m≥2或m=0,
則實數(shù)m的取值范圍是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}.
【解析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明:在區(qū)間[﹣1,1]任取x1、x2 , 且x1<x2 , 利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件中的分式,可以證得f(x1)﹣f(x2)<0,所以函數(shù)f(x)是[﹣1,1]上的增函數(shù);(2)由(1)可得f(x)在[﹣1,1]遞增,不等式即為﹣1≤x2<2x≤1,解不等式即可得到所求范圍;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)≤m2﹣2am+1對所有的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,說明f(x)的最大值1小于或等于右邊,因此先將右邊看作a的函數(shù),m為參數(shù)系數(shù),解不等式組,即可得出m的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì),掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月14日,“ofo共享單車”終于來到蕪湖,ofo共享單車又被親切稱作“小黃車”是全球第一個無樁共享單車平臺,開創(chuàng)了首個“單車共享”模式.相關(guān)部門準(zhǔn)備對該項目進行考核,考核的硬性指標(biāo)是:市民對該項目的滿意指數(shù)不低于0.8,否則該項目需進行整改,該部門為了了解市民對該項目的滿意程度,隨機訪問了使用共享單車的100名市民,并根據(jù)這100名市民對該項目滿意程度的評分,繪制了如下頻率分布直方圖: (I)為了了解部分市民對“共享單車”評分較低的原因,該部門從評分低于60分的市民中隨機抽取2人進行座談,求這2人評分恰好都在[50,60)的概率;
(II)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識,判斷該項目能否通過考核,并說明理由.
(注:滿意指數(shù)= )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|﹣1<x<1},B={x|2≤4x≤8},C={x|a﹣4<x≤2a﹣7}.
(1)求(UA)∩B;
(2)若A∩C=C,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+ , 求g1(x),g2(x),g3(x),并猜想gn(x)的表達式(不必證明);
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)n∈N+ , 比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n﹣f(n)的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),對于任意的正實數(shù)t,都有函數(shù)g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定義域內(nèi)為減函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象可能為如圖中( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,則a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列.Sn為其前n項和,且滿足an2=S2n﹣1(n∈N*),bn=an2+λan , 若{bn}為遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,函數(shù)的最大值為.
(1)求的大小;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,作出函數(shù)在的圖象.
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